MECÂNICA QUÂNTICA
TESTE 2013/14


Comece por visitar a página página de introdução e o applet que simula os estados de uma partícula em vários potencias periódicos. O objectivo deste exercício é entender os resultados aqui apresentados, e a sua importância para modelar o comportamento de electrões em sólidos. Pretende-se também treinar a utilização de software de cálculo e de representação gráfica de resultados. Entregue uma cópia das suas respostas às seguintes perguntas (em papel ou em formato pdf por mail) até segunda-feira, dia 11 de Novembro, às 12 horas.



a) Explore o applet para a partícula livre, escolhendo vários pontos sobre a relação de dispersão representada. Qual deve ser essa relação de dispersão E(k) (energia em função do número de onda)? No applet, a relação de dispersão está representada apenas sobre um certo intervalo no eixo dos k. Verifique que esta representação reduzida corresponde a truncar e transladar em certos pontos do eixo dos k o gráfico de E(k) (ou seja, a representar esse gráfico tomando a variável k definida a menos de um certo Δk).

b) Outro dos potenciais que pode escolher é o do modelo de Kronig-Penney. Considere este potencial, com período a, parametrizado pela largura dos poços, b, e pela altura das barreiras, V_0. Use o applet para explorar o comportamento do sistema. Escreva as soluções estacionárias de energia E em termos da sua expressão numa região de poço e numa de barreira. Essas duas soluções envolvem quatro constantes arbitrárias, e o matching no ponto de descontinuidade impõe duas condições. Determine essas condições impondo o matching no ponto x=0 em que tem início uma barreira.

c) Um resultado conhecido como teorema de Bloch (ou, noutro contexto, de Floquet) diz que uma solução estacionária ψ(x) da equação de Schrödinger num potencial periódico é necessariamente da forma ψ(x) = u_k(x) e^(i k x), onde u_k(x) tem o mesmo período do potencial. Mostre que isso garante que, a menos de um factor de fase, a solução tem o mesmo período do potencial. Mostre ainda que do teorema de Bloch, ou mais precisamente da periodicidade de u_k(x) e da sua derivada, decorrem mais duas condições a impor às soluções achadas na alínea anterior. Determine então as quatro equações que as quatro constantes arbitrárias envolvidas nessas soluções têm que verificar.

d) As quatro equações que achou na alínea anterior formam um sistema linear e homogéneo nas quatro constantes arbitrárias. Mostre que para que exista uma solução não trivial E e k têm por sua vez que verificar uma equação transcendente, e escreva explicitamente essa equação. Oriente os seus cálculos de acordo com o guião contido neste documento de Sören Kahl, KTE Estocolmo, e apresente todos os cálculos intermédios. Mostre que existem intervalos 'proibidos' de E, ou seja, intervalos de valores de E para os quais não existem soluções reais k. Se necessário, recorra à representação gráfica das funções envolvidas. Mostre tambem que existem infinitas soluções para cada k.

e) Represente graficamente a relação de dispersão que encontrou na alínea anterior, tomando k, que vem definido a menos de um múltiplo de 2 π/a, no intervalo [-π/a, π/a]. Este este intervalo corresponde à primeira zona de Brillouin de um cristal unidimensional de período a. Obtenha também a representação estendida a todo o eixo dos k, em analogia com a representação habitual da relação de dispersão da partícula livre. Identifique as diferentes bandas de energia, e os hiatos que as separam. Pode querer usar o documento que consultou na alínea anterior também para a escolha de valores numéricos que seja mais interesante explorar.

f) Considere N barreiras dispostas sobre um anel (condições aos limites periódicas no intervalo [-Na/2,Na/2]). Neste caso, ψ(x) tem que ser periódica de período N a. Mostre que então os k tomam apenas certos valores discretos, e represente a relação de dispersão para um cristal unidimensional com 10, 50 e 500 átomos.

g) Num cristal macroscópico podemos considerar a relação de dispersão como uma curva contínua, ou seja, considerar que os k tomam todos os valores reais. Mostre que a relação de dispersão que achou é consistente com 'velocidade de grupo' v_g = d ω/dk nula nos extremos de cada banda. É possível mostrar que, tal como para o trem de ondas livre, esta quantidade corresponde à velocidade da partícula num estado de Bloch.

h) Por analogia com a partícula livre, definamos a massa efectiva, m*, através da equação ℏ^2/m*=d^2 E/dk^2. Mostre que a relação de dispersão que achou é consistente com massa efectiva negativa nos extremos superiores de cada banda. Considere uma partícula de carga q neste cristal sujeita a um campo eléctrico constante, e mostre que se verifica m* dv_g/dt = F, onde F é a força exercida pelo campo eléctrico e v_g é a velocidade de grupo. Consulte as páginas 65 a 67 destas notas de Ron Horgan, U Cambridge, e use este exemplo e este resultado para interpretar fisicamente os valores de v_g e de m* ao longo de uma banda.

i) Estude uma derivação do teorema de Bloch em dimensão três, por exemplo seguindo as notas disponibilizadas aqui por um autor anónimo de U Oxford, ou outra fonte que prefira. Conclua comentando a relevância da estrutura de bandas que encontrou para o modelo de Kronig-Penney e que o applet ilustra também para outros potenciais periódicos do ponto de vista da condução eléctrica em sólidos.