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Lógica Matemática

Em colaboração com Paulo Oliva, concebemos uma interpretação funcional da aritmética que, ao contrário da original devida a Gödel em 1958, não quer saber de testemunhas precisas de quantificações existenciais, mas apenas de suas majorações. Esta interpretação sustenta (sem o auxílio de recursores bar) uma forma geral do teorema FAN de Brouwer e, simultaneamente, o lema fraco de König. O artigo intitula-se Bounded functional interpretation (Annals of Pure and Applied Logic 135, 73-112, 2005. Doi: 10.1023/A:1004377219147). A nova interpretação difere conceptualmente da interpretação monótona de Kohlenbach (que tem sido explorada, com grande sucesso, no programa de “Proof Mining”). A nossa interpretação “injecta uniformidades” que não são existem no universo dos conjuntos preservando, no entanto, proposições “reais”. Também fornece uma forma nova (e simples) de olhar para a teoria do “Proof Mining”. Escrevi recentemente uma pequena monografia sobre estes assuntos (Logic Colloquium'07, Françoise Delon et al. org., Cambridge University Press 2010, pp. 32-81).

A formalização da matemática em sistemas aritméticos de segunda-ordem tem uma história longa e distinta. Pode dizer-se que remonta a Richard Dedekind e que foi objecto da atenção de, entre outros, Hermann Weyl, David Hilbert, Paul Bernays, Gaisi Takeuti, Solomon Feferman, Harvey Friedman e Stephen Simpson. Na década de oitenta, Samuel Buss introduziu sistemas aritméticos relacionados com classes notáveis da complexidade computacional.

Em Groundwork for weak analysis (The Journal of Symbolic Logic 67, 557-578, 2002. Doi:10.2178/jsl/1190150098), eu e António M. Fernandes desenvolvemos os princípios mais básicos da análise matemática num sistema formal associado à computabilidade em tempo polinomial (um sistema fraco da análise). Um corolário interessante deste trabalho é o resultado de que a teoria dos corpos ordenados realmente fechados (de Tarski) é interpretával na teoria aritmética de Robinson Q. Por outras palavras, a álgebra e análise elementares (incluindo a geometria analítica) interpretam-se numa teoria aritmética sem indução.


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Fernando Ferreira


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