O trabalho de Arquimedes...

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Dotado de uma inteligência prodigiosa, Arquimedes assimilou rapidamente todos os conhecimentos adquiridos pela Humanidade até ao momento e, através de uma admirável série de descobertas, ampliou-os grandemente.

As áreas onde mais se envolveu foram:  a Física, a Mecânica e a Matemática.

A Física

O primeiro tratado de Estática (disciplina que se ocupa do equilíbrio dos corpos) da História da Humanidade foi escrito por Arquimedes. Nele se encontram os princípios fundamentais relativos ao centro de gravidade e à alavanca.  Ao contemplar esse trabalho de Arquimedes, Hierão terá ficado tão maravilhado que afirmou:

"Acharei de hoje em diante possível tudo quanto me disser Arquimedes!"

Ao que Arquimedes respondeu:

"Dêem-me um ponto de apoio e, com a minha alavanca, erguerei o mundo"
(Curiosidade sobre esta afirmação de Arquimedes...)

Conta a lenda que, na sequência de uma história de fraude - a história da coroa do rei Hierão - Arquimedes se interessou pela hidrostática (disciplina que se ocupa do equilíbrio dos líquidos).  O seu objectivo  imediato era inventar uma maneira de confirmar se a coroa do rei tinha sido inteiramente feita em ouro ou se o joalheiro teria falsificado a obra que lhe tinha sido encomendada, substituindo parte do ouro por prata. Este problema preocupou o sábio a tal ponto que, quando no meio de um banho, descobriu a  solução - princípio da hidrostática - saíu para a rua a comunicar aos seus concidadãos a sua descoberta:  Eureka !

A Mecânica

Inspirado na espiral, Arquimedes inventou o parafuso sem-fim e o parafuso de Arquimedes. 
O parafuso sem-fim, aplicado desde a antiguidade, ainda agora tem as mais variadas aplicações  nas máquinas modernas.

O parafuso de Arquimedes era utilizado na extração da água das minas e dos poços.

Baseando-se nas propriedades das cónicas, Arquimedes inventou um sistema de espelhos: os chamados specchi ustori. Estes espelhos concentravam os raios do Sol nas naves romanas e incendiavam-nas.

Se quiser ler um relato de Plutarco (e de outros escritores antigos) sobre como a maquinaria de Arquimedes era usada na guerra com os Romanos, clique aqui!

A Matemática

 Em Geometria, o sábio teve o mérito de conceber métodos gerais para calcular as áreas de figuras planas curvilíneas e os volumes de sólidos delimitados por superfícies curvas. Aplicou tais sistemas a vários casos particulares: à esfera, ao círculo, ao segmento de parábola, à área compreendida entre dois raios e dois passos sucessivos de uma espiral, aos segmentos esféricos, às superfícies geradas pelas revoluções em torno dos eixos principais dos rectângulos (ou melhor, os cilindros), a entidades geométricas produzidas pela revolução dos triângulos (ou seja, os cones), das parábolas (parabolóides), das hipérboles (hiperbolóides) e das elipses (elipsóides). Arquimedes tinha, portanto, um sistema de cálculo integral dois mil anos antes de Newton e Leibniz.

Mas, Arquimedes não antecipa apenas o cálculo integral. Ele pode ser também  considerado como  percursor do cálculo diferencial. Na verdade, uma das suas mais conhecidas e importantes descobertas matemáticas é a construção da famosa espiral de Arquimedes. Sem ter, obviamente, qualquer conhecimento da expressão da função que descreve essa curva, Arquimedes conseguiu  resolver o problema do traçado da tangente num ponto dessa espiral.

Vejamos:

Seja E a Espiral de Arquimedes e seja t a recta tangente a E no ponto P. Seja a o ângulo formado entre a recta t e o eixo ordenado das abcissas, a que se chama inclinação da recta t. Então, tg(a) é o declive da recta t e simultaneamente a derivada da função que define E no ponto P.

 Note-se que só muito mais tarde surgiu a noção de derivada. Mesmo assim, Arquimedes resolveu  problema da tangente num ponto da sua espiral e , ao fazê-lo, aproximou-se bastante da noção de derivada.  É pois legítimo considerá-lo como o percursor do cálculo diferencial.

Além disso, fez surgir a ideia de infinitamente grande ao querer contar os grãos de areia da praia de Siracusa. Esta abordagem da ideia de infinito surge também numa das suas obras, o Arenário, onde se propõe avaliar o número de grãos de areia (daí o nome da obra) que seria preciso para encher uma esfera grande como o Universo. Para resolver este problema, teve de ultrapassar duas dificuldades: a primeira, dar as dimensões do universo; a segunda, criar um modo de escrever o número colossal dos grãos de areia. Tarefa tanto mais difícil quanto a escrita grega dos números só permitia escrever números inferiores à miríade das miríades (100 000 000).
A primeira dificuldade foi ultrapassada com base nos conhecimentos astronómicos da sua época, em particular, no sistema heliocêntrico de Aristarco de Samos. Neste sistema, a Terra roda em torno de si mesma descrevendo uma órbita circular à volta do Sol. Aristarco de Samos (primeiro grande astrónomo da escola de Alexandria) é, com dezassete séculos de avanço, o percursor de Copérnico.
A segunda dificuldade foi ultrapassada idealizando um novo sistema de numeração que permite escrever ou enumerar números tão grandes quanto se quiser.  Esse sistema consistia em escrever os números em óctuplos ou potências de 8 na base 10, que constituem uma das leis de operação com logaritmos. Desta forma Arquimedes supera os evidentes obstáculos inerentes ao modo como os gregos representavam os números (pelas letras do alfabeto).

 Arquimedes, também já tinha dado exemplos de como se pode caminhar para o infinitamente pequeno por meio de uma série geométrica decrescente como um, um quarto, um dezasseis avos, um sessenta e quatro avos, etc. 

Contribuiu assim para a evolução do cálculo infinitesimal, surpreendendo todos os seus contemporâneos com a ideia de infinito e também pela facilidade de cálculo que revelou ao resolver estes problemas.

Descobriu ainda um método para calcular o Pi grego - p - o prodigioso número que estabelece a ligação entre a circunferência e o seu diâmetro, fixando o seu valor entre três e dez septuagésimos mais um septuagésimo (=3,1408...) e três e um sétimo (=3,1428...), valores estes aproximados por defeito e por excesso, respectivamente, do número que hoje representamos pela letra grega p (=3,14159...). Para a obtenção daqueles valores utilizou o método dos polígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência partindo dos de 6 lados e, por duplicação reiterada, chegou até aos de 96 lados. 

        Esta descoberta foi posta em poema.  O número de letras de cada palavra do poema seguinte corresponde, sucessivamente, aos algarismos da escrita decimal do número p (bom = 3, e = 1, belo = 4, é = 1, poder = 5, etc.).:

"Bom e belo é poder comunicar um número farto aos povos. Imortal Siracusão artista, engenhoso..."

        Gostávamos ainda de evidenciar três proposições que Arquimedes enunciou e demonstrou em Medida do Círculo. Para ver essas proposições, clique aqui!

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Olga Pombo:  opombo@fc.ul.pt