Números Imaginários, o que é isso?

A primeira ideia que nos ocorre ao ouvirmos alguém mencionar números imaginários, é de que são números que não existem, que fazem parte dum mundo de fantasia. Algo que é criado por nós mesmos no nosso subconsciente. Talvez prevaleça a ideia de que cada um de nós faz a sua própria representação de um determinado tipo de números. Ou melhor, cada um de nós representa o número consoante a nossa imaginação.

Pois bem... não é isso o número imaginário.

Antes de explicar o que é o número imaginário, será melhor reflectir sobre a representação que nós fazemos de número em geral. Ou seja, até que ponto é algo que foi inventado ou construído pelo homem, ou se este existe independentemente do mundo e do sujeito.

A origem do conceito de número surgiu como expressão de uma quantidade de elementos, isto é, como resultado do processo de contar. Mas com o decorrer dos tempos, a definição foi sofrendo alterações, já que do conceito original se iam obtendo novas definições e interpretações mais gerais. O conceito de número é de fundamental importância na Matemática, pois pode dizer-se que  esta “(...) ciência nasce com a descoberta (...) [dos números] e a sua evolução está ligada ao seu desenvolvimento e estudo; por outro lado, o conceito de número é a primeira abstracção da realidade na história da humanidade.” (Moderna Enciclopédia Universal, vol. XIV, p. 69).

Da natureza do número, há quem defenda que o número é uma ideia. O número não é um símbolo escrito como 2 ou dois, é uma ideia que é simbolizada por 2 ou dois. É algo inatingível. É algo que só existe mentalmente, e quando falamos ou escrevemos o número, parece-nos mais alcançável ou real, mas é apenas a representação de uma ideia. A representação dos primeiros números, os naturais, surgiu para responder a questões de quantidades. Os números mais pequenos que são reconhecidos são 1,2,3,4,5 e 6. Os restantes são obtidos através da soma ou produto destes.

Mas, os números não se reduzem aos naturais. A criação de números mais sofisticados, teve a mão do Homem pois as exigências quotidianas a tal o obrigaram. Com isto, surgem os números negativos e o zero, dando lugar aos números inteiros. Como era algo novo houve alguma relutância em aceitar a existência de números negativos, números que são inferiores ao zero, ao nada. Mas, as diversas utilidades que estes proporcionaram, ajudaram à aceitação. Digamos que, no senso comum, não é muito usual falar em –2 flores. No entanto, ao falarmos de temperaturas negativas, saldos bancários negativos, entre outros aspectos do dia-a-dia, já nos parece credível aceitar a existência de números negativos.

O surgimento dos números fraccionários ou racionais provocou alguma dificuldade. O seu significado é facilmente compreendido, já que estão intimamente ligados à vida real e à linguagem quotidiana. Intuitivamente, temos a ideia de fracção ligada a algo que é repartido: meia garrafa, um quarto de laranja, um terço do terreno, etc. Contudo, a sua representação suscitou algumas barreiras. Estes números são, fundamentalmente, a exteriorização de conceitos abstractos que representam a razão entre as quantidades de dois conjuntos.

O conjunto dos números reais é constituído pelos naturais, inteiros, racionais e irracionais e possui à seguinte definição de número  real “(...) é uma distância, medida em termos de uma dada unidade, com um sentido que lhe é conferido pelo sinal.” (Conway, 1999, p.230).

Essencialmente, com o correr dos tempos e à medida que se tornava necessário, cada um dos conjuntos dos números abordados foi surgindo como uma ampliação do conjunto anterior. Desta forma, o raciocínio feito até aqui leva-nos a pensar que os números são representações criadas pelo homem. O conjunto dos números complexos não é excepção.

O conjunto dos complexos é uma ampliação dos números reais, ou seja, do conjunto R. E é com este alargamento que vai ser possível resolver equações do tipo

x² + a = 0, com a > 0

Mas antes de falarmos concretamente destes números, devemos definir o que é a unidade imaginária i.

Quando resolvemos a equação

x² + 1 = 0

aplicando o método geral da resolução da equação deste género, temos 

  x² = -1 Û   x = ±Ö (-1)

Mas como não conhecemos raízes quadradas de números negativos, tornou-se necessário inventar um número cujo quadrado seja igual a –1. Este número é designado por i.

Assim, podemos escrever que

  i = ±Ö (-1)

e de acordo com a definição dada,  i² = -1.

Além disto, o conceito de unidade imaginária é ampliada para os seus múltiplos. Por exemplo,

  x = ±Ö (-9)  Û  x = ± 3i.

Assim, o homem foi capaz de produzir ou criar um número que até então era uma barreira inultrapassável no cálculo de raízes com números negativos.

Por outro lado, o surgimento destes números teve como engenho, a necessidade de calcular distâncias no plano cartesiano, sem ser da esquerda para a direita e vice-versa, ao longo de uma dada linha (no caso da recta real). Então, esta procura levou à criação dos números complexos. Estes números, cuja notação é

z = a + ib

são constituídos por uma parte real (a) e uma parte imaginária (b).

Desta forma, é possível ao homem representar distâncias entre dois pontos quaisquer do plano, sem se preocupar com a direcções que toma. Ou seja, definem-se números complexos “(...) como distâncias ao longo de direcções arbitrárias num plano fixado.” (Conway, 1999, p. 230).

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