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Objetivos
Conhecimento dos conceitos fundamentais de Topologia e breve introdução à Análise Funcional.
Programa detalhado em 2007-08
1. Preliminares
Números complexos: sucessões e funções. Espaços vetoriais e aplicações lineares. Espaços vetoriais com produto interno. Espaços vetoriais normados.
2. Espaços Métricos
Definição e exemplos. Convergência de sucessões. Conjuntos abertos e conjuntos fechados. Limites. Continuidade. Espaços métricos completos. Espaços métricos compactos. Caracterização de Borel-Lebesgue dos conjuntos compactos. Continuidade uniforme.
3. Espaços Topológicos
Definição e exemplos. Bases de abertos. Conjuntos fechados. Interior e fecho. Limites. Continuidade. Produtos finitos de espaços topológicos. Espaços topológicos compactos. Espaços topológicos conexos. Separação. Exemplo: a topologia de Zariski. Breve referência à noção de vizinhança.
4. Espaços Vetoriais Normados
Continuidade de aplicações lineares e multilineares. Espaços normados de dimensão finita. Espaços de Banach. Subespaços fechados de um espaço normado. Espaços de aplicações lineares.
5. Espaços de Hilbert
Definição e exemplos. Ortogonalidade. Séries de Fourier. Conjuntos convexos. Complemento ortogonal. Representação de Riesz-Fréchet.
Exercícios
● Exercícios incluídos no texto de apoio.
● Do livro Linear Functional Analysis de William Chen:
● Exercícios dos capítulos 1, 2 e 3.
● Exercícios 2, 8 e 15 do capítulo 4.
● Exercícios 1 e 3 do capítulo 6.
● Exercício 1 do capítulo 7. (Observação: Neste exercício, bounded linear operator significa aplicação linear contínua. A utilização do adjetivo bounded, ou limitado, deve-se ao facto de as aplicações lineares contínuas satisfazerem a propriedade (c) da proposição 4.3 do texto de apoio.)
● Outros exercícios propostos nas aulas.
Bibliografia
Bibliografia principal
● Texto de apoio.
● William Chen, Linear Functional Analysis, 2008.
Outras referências bibliográficas
● Elon Lages Lima, Espaços Métricos, Projecto Euclides/IMPA, 1976.
● Elon Lages Lima, Elementos de Topologia Geral, 2ª ed., Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1976.
● Armando Machado, Introdução à Análise Funcional, Escolar Editora, 1991.
● B. P. Rynne & M. A. Youngson, Linear Functional Analysis, 2nd ed., Springer, 2008.
● Karen Saxe, Beginning Functional Analysis, Springer, 2002.
Biografias de Alguns Matemáticos Referidos no Curso
Stefan BANACH
Friedrich Wilhelm BESSEL
Bernard Placidus Johann Nepomuk BOLZANO
Félix Edouard Justin Émile BOREL
Georg Ferdinand Ludwig Philipp CANTOR
Augustin Louis CAUCHY
EUCLID of Alexandria
Jean Baptiste Joseph FOURIER
Maurice René FRÉCHET
Felix HAUSDORFF
Heinrich Eduard HEINE
Charles HERMITE
David HILBERT
Andrey Nikolaevich KOLMOGOROV
Henri Léon LEBESGUE
PYTHAGORAS of Samos
Georg Friedrich Bernhard RIEMANN
Frigyes RIESZ
Hermann Amandus SCHWARZ
Karl Theodor Wilhelm WEIERSTRASS
Oscar ZARISKI
Última atualização: 15-ago-2018
Fernando Silva <fasilva@fc.ul.pt>
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