As Cónicas

Estamos perante uma grandiosa e magnífica obra, considerada por muitos, como o ponto máximo da matemática grega.

Constituída por oito livros, só os sete primeiros chegaram aos nossos dias. Destes, só os primeiros quatro é que existem em grego. Os outros três existem numa tradução arábe. Em 1710, Edmund Halley fez uma tradução latina dos oito livros, surgindo posteriormente traduções noutras línguas.

No prefácio geral da obra, Apolónio explica as razões que o levaram a escrevê-lá:

Para se avaliar a excelência desta obra refira-se que não se descobriram propriedades novas das cónicas até ao século XIX, altura em que as elipses, parábolas e hipérboles começaram a ser estudadas na Geometria Projectiva.

Apolónio começa por mostrar que, de um único cone, podem ser obtidas as três espécies de secções cónicas bastando para tal fazer variar a inclinação do plano. Como se pode ver na figura:

A elipse é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com um plano que não é paralelo a nenhuma das geratrizes.

Apolónio vai utilizar pela primeira vez os termos parábola, elipse e hipérbole para designar estas curvas. Nomes que foram adoptados dos pitagóricos para quem o termo elipse era usado quando um rectângulo de área dada era aplicado a um segmento que lhe faltava um quadrado; o termo hipérbole era usado quando a área excedia o segmento; o termo parábola era usado quando não havia excesso nem falta.

Curvas	*Equação*	*Propriedade*
Parábola		Para qualquer ponto sobre ela o quadrado sobre a ordenada é igual ao rectângulo sobre a abcissa x e o parâmetro l.
Elipse
Hipérbole	ou

Apolónio mostrou que o cone não precisa de ser recto (pode ser oblíquo ou escaleno) e que um cone oblíquo tem, não só uma infinidade de secções circulares paralelas à base, mas também um conjunto infinito de secções circulares dadas a que chamou secções subcontrárias. Mostrou ainda que os pontos médios de um conjunto de cordas paralelas a um diâmetro de uma elipse ou hipérbole formam um segundo diâmetro, a que chamou diâmetros conjugados. A partir dos diâmetros conjugados, Apolónio mostrou que, se uma recta é traçada por uma extremidade de um diâmetro de uma elipse ou hipérbole paralelamente ao conjugado, a recta tocará a cónica e mais nenhuma recta pode cair entre ela e a cónica, isto é, a recta é tangente à cónica.

Segundo Boyer, no livro I, Apolónio "analisou as propriedades fundamentais das curvas mais completamente e com mais generalidade que os escritos de outros autores". (Carl Boyer, A History of Mathematics, página 165).

Apolónio contínua o estudo dos diâmetros conjugados e tangentes. Por exemplo, no caso da hipérbole, se P for qualquer ponto sobre qualquer hipérbole, com centro C, a tangente em P cortará as assíntotas nos pontos L e L` que são equidistantes de P. E toda a corda QQ` paralela a CP encontrará as assíntotas nos pontos K e K` tais que QK=QK` e QK.QK`=CP².

Apolónio também mostra como traçar tangentes a uma cónica usando a teoria da divisão harmónica. Por exemplo, no caso da elipse, se Q é um ponto da curva, Apolónio traçava uma perpendicular QN de Q ao eixo AA` e achava o conjugado harmônico T de N em relação a A e A`. Então, a recta que passa por T e Q é a tangente à elipse.

Como se pode ler no prefácio geral da obra, Apolónio tinha grande admiração por livro III:

"O terceiro livro contém muitos teoremas notáveis, úteis para a síntese de lugares sólidos e determinações de limites; a maior parte e mais bonitos desses teoremas são novos e, quando os descobri, observei que Euclides não tinha efectuado a síntese do lugar com relação a três ou quatro rectas, mas só uma parte causal dela e não bem-sucedida; pois a síntese não poderia ser completada sem minhas descobertas adicionais" (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 103).

Apolónio mostra aqui, por métodos sintéticos, teoremas que lhe permitem determinar o seguinte problema: Dadas três ou quatro rectas de um plano, achar o lugar de um ponto P, que se move de modo que o quadrado da distância de P a uma das rectas seja proporcional ao produto das distâncias das outras duas.

Como mostra Boyer, "poucos problemas tiveram papel tão importante na história da matemática quanto o do "lugar a três ou quatro rectas" (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 103).

Neste livro, Apolónio estudou o número de pontos em que uma secção de um cone pode intersectar uma curva. Vai dedicar-se sobretudo à intersecção com os ramos de uma hipérbole. Por exemplo, mostrou que se um ramo de uma hipérbole encontra os dois ramos de outra hipérbole o ramo oposto a primeira hipérbole não encontrará nenhum dos ramos da segunda em dois pontos, ou se uma hipérbole é tangente a um dos ramos de uma segunda hipérbole não encontrará o ramo oposto da segunda.

"Eles merecem aceitação pelas suas próprias demonstrações, assim como aceitamos muitas coisas na matemática por esta razão e nenhuma outra."(in, Elza Gomide, História da Matemática, página 104).

Apolónio faz o estudo de tangentes e normais de uma curva e mostra, por procedimentos sintéticos, como se consegue obter as evolutas das cónicas. Para tal, determina o número de normais distintas de cada ponto, cujas equações são:

Apolónio diz que efectuou este estudo porque "o assunto é um daqueles que parecem dignos de estudo por si mesmo". (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 104).

Este livro trata fundamentalmente da igualdade e semelhança de cónicas. Apolónio considera duas cónicas semelhantes quando as ordenadas traçadas à distância proporcional ao vértice forem proporcionais às abcissas correspondentes. Demonstra ainda que todas as parábolas são semelhantes e que uma parábola não pode ser semelhante a uma elipse ou hipérbole, nem uma elipse a uma hipérbole.

Apolónio retoma o estudo dos diâmetros conjugados, apresentando muitas proposições novas.

Julga-se que este livro tivesse problemas semelhantes aos do livro VII, porque no prefácio do livro VII, Apolónio escreveu que "os teoremas do livro VII eram usados no livro VIII para resolver certos problemas sobre cónicas, de modo que o ultimo livro é uma espécie de apêndice" (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 106).