Um problema apresentado por al-Khwārizmī, no seu Tratado de Álgebra

 

          “Por sua morte, um homem deixa uma parte igual do seu capital a cada um dos seus quatro filhos, enquanto que deixa a uma outra pessoa uma parte igual a cada uma da dos seus filhos, mais um quarto do que resta de um terço do capital depois de ter retirado esta parte, mais um dirham.” ^[1]

Dado que ainda não era usada escrita simbólica, este problema tem uma resolução  extremamente longa, não deixando porém, de possuir natureza algébrica.

Resolução:

          Designemos por z o capital, por x a parte de um dos filhos e por y a parte dada à pessoa. Temos assim as seguintes equações:

          z = y + 4x

          y = x + 1/4 (z/3 – x) + d

          Obtemos daqui, depois das transformações necessárias,  z = (5+(2/11))x + (1+(1/11))d. No fundo, é a partir de uma forma semelhante que al-Khwārizmī opera. A regra da resolução enuncia-se da seguinte forma: “toma-se um terço do capital e retira-se uma parte. Retira-se em seguida uma parte do que resta de um terço do capital menos uma parte e um dirham, de tal forma que restam três quartos e um terço do capital ou seja, um quarto do capital menos três quartos de uma parte menos um dirham (dito de outra forma, em notação moderna:  1/3 z – x – 1/4 (z/3 – x) – d = 1/4 z – 3/4 x - d). Esta quantidade é somada aos dois terços do capital; de seguida onze doze avos da parte do capital menos três quartos da parte, menos um dirham são iguais a quatro partes (dito de outra forma:  2/3 z + z/4 – 3/4 x – d = 11/12 z – 3/4 x – d = 4 x ).

Soma-se em seguida três quartos de uma parte mais um dirham; onze doze avos da parte do capital são iguais a quatro e três quartos da parte mais um dirham (dito de outra forma:  11/12 z = (4+(3/4))x + d).

          Multiplicando agora por 12/11; al-Khwārizmī junta a cada termo um  undécimo e determina que o capital se cifra em 5+(2/11) de uma parte mais 1+(1/11) dirham.”