Fermat_Geometria analítica

"A geometria analítica é o resultado de uma frutuosa ligação de dois ramos da matemática: a geometria (que trata de pontos, conjuntos de pontos e propriedades a eles relativos) e a análise (que estuda os números e as relações entre eles)" (Marques, 1991).

A primeira ligação entre a geometria e os números foi feita na antiguidade pelos matemáticos gregos que usavam figuras geométricas para resolver equações (álgebra geométrica). Dois mil anos depois, Descartes e Fermat seguiram o caminho inverso traduzindo as relações geométricas por equações.

Foi no estudo de trabalhos de Viète que Fermat e Descartes compreenderam a análise que os gregos tinham feito. E ao usarem as mesmas técnicas de base que relacionam a álgebra e a geometria, desenvolveram o que culminou, mais tarde, na moderna geometria analítica (Katz, 1993).

Fermat e Descartes traduziram por equações e letras o que os gregos já tinham escrito por palavras e com proporções e, introduziram o método das coordenadas na geometria. A introdução das coordenadas, teve como imediata consequência a redução dos estudos feitos sobre a resolução gráfica de equações. Da aplicação dos métodos analíticos à geometria, deduziram que os problemas da interpolação de duas ou mais medidas proporcionais, o problema da trisecção do ângulo, etc., não se podem resolver com a régua e o compasso (Wieleitner, 1932).

A ideia de definir a posição de um ponto por meio de uma sequência de números foi sugerida, de modo natural, em problemas de navegação que levaram a adoptar o sistema das coordenadas geográficas. Cada ponto da superfície marítima fica determinado por um par de números designados de latitude e longitude e, se o ponto está situado acima ou abaixo do nível do mar, um terceiro número torna-se necessário juntar para o localizar: a altitude (Marques, 1991).

É o nome de Descartes que aparece como o fundador da geometria analítica. Descartes ao apoiar-se em estudos elaborados por matemáticos gregos vai formalizar a ideia de definir a posição de cada ponto por meio de uma sequência de números. Assim, as figuras geométricas passam a ser descritas por meio de equações e/ou de inequações, o que permite transformar questões de pura geometria em questões de análise. Os teoremas de geometria tornam-se demonstráveis por meio da análise e muitas questões delicadas desta, podem ser visualizadas graficamente e interpretadas intuitivamente quando apresentadas em termos de geometria.

Mas ao que parece, a geometria analítica foi desenvolvida em simultâneo, tanto por Descartes, que publicou a sua Géométrie em 1637, como por Fermat, em escritos anteriores não publicados. Um fenómeno particularmente espantoso, que a descoberta da geometria analítica confirma: praticamente ao mesmo tempo, do cérebro de dois matemáticos, que não comunicavam entre si, nasce uma mesma teoria. Como explicar tal fenómeno? (Dantzig, s.d.)

E afinal quem foi o primeiro fundador da geometria analítica?
Este ramo da matemática desenvolveu-se, sobretudo, sob a influência do livro de Descartes, mas este não pode ser considerado o primeiro texto sobre o assunto (Stewart, 1995).

Os dois ramos unidos, nesta forma tão cooperativa, passaram a ajudar-se mutuamente, quase confundindo-se, criando um extraordinário progresso para a Matemática e para as ciências afins.

Fermat, como já temos vindo a afirmar, tinha um profundo interesse nas obras clássicas, principalmente nas de Euclides, Apolónio e Diofanto. Pensa-se que o estudo e a reconstituição da obra perdida Plane Loci (Lugares Planos) de Apolónio, baseado em alusões contidas na Colecção Matemática de Papus, tenha tido como consequência o tratado Ad locus planos et solidos isagoge (introdução aos lugares planos e sólidos), escrita antes de 1637, mas publicada postumamente, apenas em 1679. Aí aparecem os princípios fundamentais do método das coordenadas, se não de uma forma extensa como na Géométrie de Descartes, pelo menos em forma tão clara ou mais (Marques, 1991). Por exemplo, nos escritos de Fermat aparece a equação da recta, que não figura explicitamente na obra de Descartes e 'o princípio fundamental da geometria analítica', no plano:

Sempre que numa equação final se encontram duas incógnitas, temos um lugar geométrico, descrevendo a extremidade de uma das incógnitas uma linha recta ou uma curva. A linha recta é simples e única; as classes de curvas são infinitamente numerosas: círculos, hipérboles, parábolas, ...

Tanto Descartes como Fermat desenvolveram a geometria analítica sem considerarem abcissas negativas, mas perceberam a existência de uma geometria analítica a mais de duas dimensões, pelo menos a três (Dantzig, s.d.). Fermat explícita isso mesmo no seu trabalho:

Há certos problemas que envolvem só uma incógnita e que podem ser chamados determinados, para distinguir dos problemas de lugares. Há outros que envolvem duas incógnitas e que nunca podem ser reduzidos a uma só, estes são os problemas de lugares. Nos primeiros problemas, procuramos um ponto único, nos segundos uma curva. Mas se o problema proposto envolve três incógnitas, deve-se achar, para satisfazer à equação, não apenas um ponto ou uma curva, mas toda a superfície. Assim aparecem superfícies como lugares, etc..

No 'etc' final há uma sugestão de geometria a mais de três dimensões, mas se Fermat tinha realmente isso em mente, não foi mais além. Até mesmo a geometria a três dimensões teve que esperar até ao século dezoito, para ser efectivamente desenvolvida (Boyer, 1996).

O século XVII é conhecido como o século das curvas: a ciclóide, o limaçon, a catenária, a espiral equiângular, as hipérboles, as parábolas, as espirais de Fermat, as pérolas de Sluse, e muitas outras. A ciclóide foi uma das curva mais estudadas. O modo como se gera e a descoberta das suas propriedades deram origem a inúmeras disputas entre os geómetras da época, de tal forma, que lhe chamavam a "Helena dos Geómetras". Foi estudada por Galileu, Torricelli, Fermat, Roberval, Descartes e mais tarde por Huygens, Bernoulli e Newton. As suas propriedades mais importantes são o facto de ser uma curva braquistócrona - menor tempo de descida de um ponto a outro - e de ser tautócrona - igual tempo de descida de qualquer ponto até ao ponto de altura mínima (A.P.M.,1998).

Pode-se dizer que Descartes e Fermat foram co-fundadores da geometria analítica, contudo, existem algumas diferenças nas estratégias utilizadas por cada um deles, nomeadamente:

Descartes construiu a sua geometria em torno do difícil problema de Papus.
Descartes começou com o lugar das três e quatro rectas, usando uma das rectas como eixo das abcissas.
Descartes dava mais ênfase à construção de soluções algébricas.

Fermat limitou a sua geometria aos lugares mais simples.
Fermat começou com a equação linear e escolheu um sistema de coordenadas arbitrário sobre o qual a esboçou.
Fermat dava mais ênfase ao esboço de soluções indeterminadas.

A descrição da geometria analítica de Fermat era muito mais sistemática e didáctica que a de Descartes. Além disso, era mais próxima da actual, pelo facto de tomar o eixo das ordenadas, como usualmente, perpendicular ao eixo das abcissa (Boyer, 1996).

A geometria analítica, nunca se deparou com contradições e tal é o seu poder matemático de sugerir novos problemas e novas questões, que depressa se tornou uma ferramenta indispensável para a investigação (Dantzig, s.d.).