Fermat_A óptica

Willebrord Snell (1591-1626), professor em Leyden, descobriu experimentalmente, em 1621, a lei de refracção. Assim, ao compreender como é que os raios de luz são reflectidos ao atravessar a fronteira entre dois meios, isto é, um dióptro, Snell abriu a porta para a óptica aplicada contemporânea. No entanto, Descartes foi quem publicou pela primeira vez a formulação da lei da refracção usando senos, como hoje é tão familiar (Nautilus, s.d.).

O 'principio do percurso mínimo de uma reflexão' já Herón de Alexandria tinha enunciado:

Em 1957, Fermat, ignorando os pressupostos de Descartes, e com base no seu 'princípio do tempo mínimo' deduziu, também, a lei da refracção. Fermat afirmou que a luz, ao propagar-se de um ponto para outro, escolhe o caminho para o qual o tempo de percurso é mínimo mesmo que, para tal, se tenha de desviar relativamente ao caminho mais curto (Nautilus, s.d.).

Fermat deu, então, um passo importante na área da óptica, quando observou que a 'lei de refracção da luz' se pode expressar também mediante o princípio do mínimo. Tem-se que a trajectória de um raio luminoso, que passa de um meio homogéneo a outro da mesma natureza se desvia na superfície que separa ambos (Courant & Robbins, 1958).

Por meio de cálculos, Fermat demonstrou que a trajectória é tal, que o tempo necessário para que o raio de luz passe de P a R é mínimo, ou seja, é menor do que o seria se seguisse qualquer outra trajectória.

Para que ponto Q, um raio luminoso passa de um meio a outro no tempo mínimo?

Consideremos o ponto Q no eixo dos xx's e os pontos P'=(p₁,0) e R'=(r₁,0), as projecções dos pontos P e R no eixo dos xx's, respectivamente. Sem perda de generalidade, temos a distância entre R' e Q igual a x e a distância entre P' e Q igual a 2-x, enquanto a altura de cada um dos dois meios que o raio luminoso atravessa é um.

Temos então, e . Se representarmos as velocidades da luz correspondentes ao meio I e II por v₁ e v₂, obtemos o tempo total que o raio demora a percorrer a distância entre o pontos R e P:

Derivando em ordem a x, obtemos a equação e consequentemente .

Como a derivada de segunda ordem é positiva, os pontos críticos são mínimos e portanto, para encontrar o tempo mínimo, fazemos .

Temos assim que e também , sendo este o índice de refracção.

Conclui-se assim, que o ponto Q é tal que os ângulos a e a¢ formados como indica a figura, se relacionam com v1 e v2 da forma: v₁sena = v₂sena¢.

(Grossman, s.d.)

Desta forma, a 'lei da reflexão' de Herón foi completada 1600 anos mais tarde, mediante outra, a 'lei da refracção', análoga à primeira e igualmente importante (Courant & Robbins, 1958).

Fermat generalizou esta lei de tal modo, que incluiu superfícies curvas na separação dos diferentes meios, como ocorre nas lentes esféricas. Também neste caso, a lei é cumprida, pois a luz segue uma trajectória tal, que requer um tempo mínimo comparado com o que seria necessário seguindo outra trajectória distinta entre os mesmos pontos.

Fermat vai mais longe e considera qualquer sistema óptico, no qual a velocidade da luz varia de maneira determinada de um ponto para outro, como ocorre na atmosfera. Temos assim, o princípio geral de Fermat da óptica geométrica:

Este princípio tem tido uma grande importância, não só do ponto de vista teórico, como prático, sendo usado frequentemente na óptica geométrica. Aplicando este princípio às técnicas do cálculo de variações obtém-se as bases para calcular o sistema de lentes (Courant & Robbins, 1958).