A evolução do cálculo, participando da renovação total das matemáticas, ocorreu num ambiente intelectual no qual os pensadores gradualmente se iam libertando da antiga visão aristotélica da natureza (Struik, 1989).

Fermat desenvolveu algumas ideias básicas sobre o cálculo infinitesimal, espantosas conquistas para a matemática, que se anteciparam às de Newton e Leibniz. Interessou-se especialmente pelas tangentes, quadraturas, volumes, comprimentos de curvas e centros de gravidade.

Em 1629, realizou uma das suas primeiras investigações matemáticas, o restauro de uma obra de Apollonius, Plane Loci, chegando assim, a um importante trabalho sobre máximos e mínimos intitulado Métodos para determinar Máximos e Mínimos e Tangentes a Linhas Curvas. É possível que já nesta altura, Fermat estivesse na posse da sua geometria analítica. 

Ao tentar determinar máximos e mínimos de uma curva, Fermat vai reparar que a tangente tem que ser paralela ao eixo horizontal, nestes pontos. Nesta relação, é clara a contribuição da geometria analítica para o desenvolvimento do cálculo. O problema era identificar quais os pontos em que a tangente é paralela ao eixo horizontal. Para chegar à tangente, Fermat vai usar o processo da posição limite de uma secante, em que a distância entre os pontos de intersecção com a curva considera-se, agora, infinitamente pequena.  

O único senão do procedimento de Fermat, foi ter considerado o infinitamente pequeno aparentemente igual a zero, em vez de a tender para zero. Mais tarde, Newton e Leibniz vão desenvolver este ramo da Matemática reparando esta falha (Simões,  Gaudêncio  & Silva, 1998).

Para curvas polinomiais dadas pela equação y = f(x), Fermat usando o seu conhecido método das coordenadas, vai descobrir um método para achar pontos em que a função assume valores máximos ou mínimos. Este método é a génese do que é hoje conhecido como processo de diferenciação, pois Fermat chega ao seguinte resultado, traduzido em notação moderna:

Fermat ainda não possuía o conceito de limite, contudo, o seu processo de mudar ligeiramente a variável e considerar valores vizinhos é a essência da análise infinitesimal. Em relação às curvas estudadas, chegou a um teorema sobre como achar a área sob cada curva, o que corresponde actualmente, a proceder à integração de funções. Pensa-se que a integração tenha sido formulada primeiro que a diferenciação, na teoria de Fermat (Boyer, 1996).

O que vai permitir um grande avanço no desenvolvimento do cálculo infinitesimal é a descoberta capital do 'laço' entre a derivada e o integral, que surge independentemente em vários matemáticos, por volta de 1660, de um modo mais ou menos confuso (Dieudonne, 1990). 

O interesse pela espiral, na época, pode ter resultado da correspondência entre Galileu e Mersenne, relativamente à trajectória de um objecto em queda livre na Terra que gira, mas a discussão logo se alargou ao resto da comunidade científica. Em 1636, Fermat descreveu a sua descoberta sobre corpos em queda a Mersenne. Este interessou-se pelo trabalho e pediu-lhe que clarificasse a sua teoria. Fermat escreveu-lhe uma carta, onde explicou os erros que a teoria de Galileu continha e onde descrevia o seu trabalho sobre espirais. 

Sempre disposto a obter generalizações, introduziu as espirais de grau superior rⁿ = aⁿθ, e comparou os arcos delas com os das parábolas de grau superior x^n-1 = 2ay. À espiral de equação polar r² = a²θ chama-se espiral parabólica ou de Fermat, porque a sua equação sugere superficialmente a equação de uma parábola e porque Fermat a estudou, intensamente, em 1936 (Wells, 1998). 

Espiral de Fermat

O trabalho feito por Fermat, sobre espirais foi baseado no caminho descrito por corpos em queda livre e nos métodos generalizados do trabalho de Arquimedes, On Spirals, conseguindo calcular áreas «debaixo» de espirais. É curioso que um dos trabalhos de Fermat seja sobre corpos em queda livre, já que ele se interessava muito pouco pela física. Aliás, neste estudo esteve sempre mais interessado em provar teoremas geométricos, do que em fazer relações com o real (Simões,  Gaudêncio  & Silva, 1998).

A Fermat, também, não era alheia a definição de cónica, pois já a descrevia como um lugar de pontos do plano, munido de um sistema de coordenadas satisfazendo uma equação do segundo grau em duas variáveis. 

Fermat e Descartes introduziram o método analítico de definir funções. Contudo, o conceito de função foi utilizado pela primeira vez por Nicolau de Oresme (1323-1382), ao definir um gráfico para representar a velocidade de um móvel em função do tempo. No entanto, a palavra "função" só foi introduzida por Leibniz (E.B.3/S.A.Q., 2001).

A noção de função por muito intuitiva que seja, no século XVII, vai proporcionar uma era de progressos insuspeitados, tanto na matemática como nas suas aplicações (Dieudonne, 1990). Partindo da observação, os cientistas procuravam uma fórmula matemática (uma função) que seria o modelo matemático onde se relacionavam as diversas variáveis. Nos séculos XVIII e XIX desenvolve-se então, a análise, conduzindo à noção geral de função, que permite uma generalização e uma simplificação das teorias matemáticas (Vasconcelos, 2000).